શબ્દ $APPLICATION$ ના બધા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરી એવા કેટલા શબ્દો મળે કે જેથી બે સ્વરો ક્યારેય સાથે ન આવે?

$\left( {\,_{15}^{18}\,} \right) + 2\left( {\,_{16}^{18}\,} \right) + \left( {\,_{16}^{17}\,} \right) + 1 = \left( {_{\,3}^{\,n}\,} \right),\,$, હોય ,તો $\,{\text{n  =  }}...........$

એક પ્રશ્ન પેપરમાં $3$ વિભાગો છે અને દરેક વિભાગોમાં $5$ સવાલો આવેલ છે એક વિધ્યાર્થીને કુલ પાંચ પ્રશ્નોનાં જવાબ આપવાના તથા દરેક વિભાગમાંથી એક પ્રશ્ન પસંદ કરવાનો હોય તો આ વિધ્યાર્થી કેટલી રીતે  પ્રશ્નોનાં જવાબ આપી શકશે? 

એક પુરૂષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે તેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ છે અને $3 $ પુરૂષો છે.તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે તેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ છે અને $4$ પુરૂષો છે. માની લો કે $X$ અને $Y$ ને એકપણ સમાન મિત્ર નથી. $X $ અને $Y$  ભેગા મળીને $ 3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરૂષો આમંત્રિત હોય તેવી પાર્ટી કેટલી રીતે આપશે કે જેથી તેમાં $X$ અને $ Y$ દરેકના ત્રણ મિત્રો હોય ? .

અંગ્રેજી મૂળાક્ષરના $10$ ભિન્ન અક્ષરો આપેલા છે. આ અક્ષરો પૈકી $5$ અક્ષરોવાળા શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. જો ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તન કરવામાં આવે તો કેટલા શબ્દો બની શકે ?